Родился в спортивной семье, в 4 года (1999 год) на каток ДЮСШ «Локомотив» города Екатеринбурга его привел отец — Павел Алексеевич[3], который ранее выступал в парном катании, ныне — тренер по фигурному катанию в том же «Локомотиве». Оба старших брата также были фигуристами, выступают в ледовых шоу[4]. Максим стал заниматься в группе тренера Марины Войцеховской[3]. В апреле 2007 года выиграл свои первые крупные соревнования «Хрустальный конек-2007» среди мальчиков старшего возраста[5], а в 2009 году — первый этап Кубка России в Перми (среди юношей)[6]. К 2010 году Максим освоил прыжок тройной аксель и в феврале 2011 года стал вторым на Европейском юношеском Олимпийском фестивале. Весной 2011 года переезжает из Екатеринбурга в Москву и тренируется под руководством Марины Войцеховской и Николая Морозова, включая в свои программы прыжок четверной тулуп. В сентябре 2011 года выиграл свой первый этап юниорского Гран-При в Брашове, был вторым на этапе в Таллине, благодаря чему попал в финал, где занял четвертое место. В апреле 2012 года Ковтун выступил в составе российской сборной на Командном чемпионате мира в Токио.

После отчисления из группы Морозова летом 2012 года, перешёл в СДЮШОР ЦСКА (Москва) к Елене Водорезовой, затем помогать готовить его стала и Татьяна Тарасова. Сотрудничество привело к большому успеху — Ковтун выиграл оба своих этапа, а затем и финал юниорского Гран-При, очень чисто исполнив сложнейшие каскады четверной тулуп — тройной тулуп и тройной аксель — тройной тулуп[7]. После 5-го места на чемпионате России в декабре 2012 года, по решению тренерского совета Ковтун отправился на Чемпионат Европы в Загребе, где выступил лучше других российских одиночников, заняв пятое место, в произвольной программе выполнив уже два четверных тулупа[8]. В марте 2013 года Ковтун дебютировал на чемпионате мира, а в апреле вновь был в российской команде на Командном чемпионате мира в Токио.

В сезоне 2013—2014 года Тарасова и Водорезова поставили в программы Ковтуна рекордно сложный прыжковый набор из пяти четверных прыжков, в короткую — четверные тулуп и сальхов, в произвольную — тулуп и два сальхова, рассчитывая побороться за единственное для российских одиночников место на Олимпиаде-2014 в Сочи. На этапе Гран-При Кубок Китая в ноябре 2013 года исполнил в двух программах четыре четверных прыжка, выиграл произвольную программу и в итоге занял второе место. 25 декабря 2013 года впервые выиграл чемпионат России. На чемпионате Европы 2014 года в Будапеште Максим неудачно исполнил произвольную программу, в результате занял 5-ое место, как и год назад. При этом более старшие партнёры по сборной оказались выше Максима, заняв 2-ое (Сергей Воронов) и 3-ое места (Меньшов, Константин).